TEORIA DAS FILAS: M/M/1

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAPÁ

THOMAS DANILO FEITOSA DOS SANTOS

TEORIA DAS FILAS: Fila M/M/1

MACAPÁ

2014

THOMAS DANILO FEITOSA DOS SANTOS

TEORIA DAS FILAS: Fila M/M/1

Trabalho apresentado como requisito parcial para obtenção de aprovação na disciplina de Simulação e Modelagem de Sistemas Produtivos II, no Curso de Engenharia de Produção, na Universidade do Estado do Amapá.

Prof. Aldeildo Telles.

MACAPÁ

2014

INTRODUÇÃO

Ao longo da historia o fator fila sempre esteve presente na vida do ser humano desde a era pré-histórica até os dias de hoje. Isso decorre de algo natura, pois enquanto a demanda for maior que a prestação de atendimento provavelmente ocorrera esse problema nesse processo. E com o desenvolvimento das empresas torna-se visível a existência desse assunto nas mesmas, em seu atendimento. O congestionamento de linhas telefônicas até meados de 1950 foi um dos principais exemplos desse fator nas empresas em questão. Podem-se citar outros como controle de trafego aéreo, sistemas de estocagem, atendimento em bancos, atendimento no pagamento de produtos em caixas de supermercados, entre outros.

Dessa maneira, a teoria das filas surgiu para tentar prever esse problema de filas e analisar a melhor forma tanto para a empresa quanto para o cliente de eliminar ou reduzir ao máximo essa situação. Um sistema de filas pode ser interpretado da seguinte forma: vários clientes chegam numa empresa qualquer a procura de um serviço ao mesmo tempo ou simultaneamente, porém a capacidade de atendimento da mesma não é suficiente para atender essa demanda, logo surgi uma fila de espera nesse local aguardando ser atendido. A ordem de atendimento é considerada como sendo a teoria first in first out-FIFO, ou seja, o primeiro que entra é o primeiro que sai, no entanto, vale ressaltar que existem outras formas. Para demonstrar uma fila é necessário utilizar a notação A/B/c, onde o A refere-se à distribuição com que os clientes chegam ao sistema, B representa a distribuição do tempo de atendimento e o c corresponde ao número de atendentes no mesmo.
Portanto, o presente trabalho terá como foco apenas a fila M/M/1, demonstrando assim suas características e conceito elevando a sua importância para a resolução de problemas de filas nas empresas e outros locais que são afetados por essa situação, tendo como objetivo principal mostrar exemplos da mesma. Porém, primeiramente, será necessário rever alguns conceitos inicias sobre a teoria das filas.

ELEMENTOS DA FILA

           O processo de fila é caracterizado por três elementos:

1. De chegada;

2. De serviço;

3. Disciplina da fila.

            O regime de chegada inclui os seguintes elementos:

ü  Especificação da população de clientes, se ela é finita ou não;

ü  Distribuição da probabilidade do intervalo de tempo entre chegadas.

            No de serviço existem três características a serem observadas:

ü  A disponibilidade do serviço;

ü  A capacidade do sistema;

ü  A quantidade de tempo de serviço de cada cliente.

            A disciplina da fila é o modo de como os clientes serão atendidos. Onde existe varias possibilidades como atendimento por ordem de chegada, aleatório, prioritário, entre outros. 

            Para responder a essas perguntas, serão introduzidos alguns elementos e suposições que auxiliarão nas definições, estudo e compreensão dos processos de filas.

ü  N (t) = quantidade de clientes na fila no tempo t;

ü  Ti = tempo de chegada do i-ésimo cliente à fila;

ü  Xn = Tn – Tn-1 é o tempo entre as chegadas dos clientes;

ü  X1, X2, X3,...são independentes e identicamente distribuídas em F_x;

ü  S1, S2, S3,...tempos de serviços, são independentes e identicamente distribuídas F_s;

ü  O tempo entre as chegadas e o tempo de serviços é independente (Xi┴Sj; para todo i; j = 1, 2, 3,...)

            Outra consideração importante, é que será trabalhado sempre o caso homogêneo, ou seja, as transições de estados dependem apenas do comprimento dos intervalos observados e assim define-se:

Pxy (t) = P (N (s + t) = y│N (s) = x) = P (N (t) = y│N (0) = x)

            Além disso, outro fator relevante são as equações para frente e para trás. Onde temos λx como sendo a taxa de chegada de pessoas quando a fila estiver com x clientes e µx a taxa de saída quando a fila estiver com x pessoas, define-se:

Forward equation: P’xy (t) = - (λy + µy) Pxy (t) + λy-1 Px,y-1 (t) + µy+1 Px,y+1(t)

Backwards equation: P’xy (t) = - (λx + µx) Pxy (t) + λxPx+1,y (t) + µxPx-1,y (t)

FILA M/M/1

            Uma fila M/M/1 é o modelo mais simples dentre os existentes em teoria de filas, porém é um dos mais analisados. Esse tipo de fila configura um processo de nascimento e morte, no qual as chegadas em um intervalo de tempo (0, T] baseiam-se num processo de Poisson com taxa λ, e os tempos de atendimento, seguem uma distribuição exponencial de parâmetro µ.

            O funcionamento de uma fila pode ser definido também em dois estados, estado ocupado, ocorre quando o servidor estiver constantemente em atendimento, e o vazio, quando não houver fila.

EXEMPLOS:

1.    Seja um aeroporto com uma única pista de decolagem. Os aviões chegam a uma taxa de 15/hora, e levam em media 3 minutos para aterrissar. Assumindo que as chegadas são um processo de Poisson, e o tempo de aterrisagem é distribuído por uma exponencial:

λ= 15/hora

µ= 60/3hora = 20/hora

Intensidade de trafego: λ/µ=3/4=0,75

Numero médio de aviões aguardando para pousar: Lq =ρ²/(1 - ρ)

 = (0,75)²/0,25=2,25

Tempo médio de espera para o pouso: Wq =λ/µ (µ-λ)

=15/20(20-15)=3/20=9minutos

2.    Um armazém recebe encomendas que são descarregadas usando empilhadores. Um levantamento de dados realizado no local permitiu concluir que:

· Os caminhões chegam segundo um processo de Poisson a uma taxa de 16 caminhões/dia;

·  A operação de empilhadores custa 1 500$/hora;

·  A imobilização dos caminhões acarreta um encargo de 3 000$/hora;

· Os tempos de descarga são variáveis (seguindo uma distribuição exponencial negativa) com medias que dependem do numero de empilhadores utilizados:

Nº de empilhadeiras	Tempo médio de descarga (min)
1	50
2	20
3	15
4	12
5	10

Pretende-se dimensionar a equipe de descarga de modo a minimizar os custos globais do sistema, que funcionam 8 horas por dia.

SOLUÇÃO:

ü  Embora usando vários empilhadores temos apenas 1 servidor uma vez que todos os empilhadores descarregam o mesmo caminhão, dessa forma um aumento do numero de empilhadores provocara um aumento da taxa de serviço.

ü  Como a taxa de serviço só é maior do que a taxa de chegada (λ= 2) para 2 ou mais empilhadores. Logo só para este caso se pode usar o modelo M/M/1 anteriormente deduzido. Sendo assim, para 1 empilhador a fila cresceria ilimitadamente, nunca atingindo o estado de equilíbrio.

ü Para se chegar ao numero de empilhadores que origina menor custo global é necessário resolver o problema para 2,3,4, ou mais empilhadores, calculando o custo associado e escolher a melhor opção. 

3.    Um almoxarifado recebe em media 12 pedidos por hora, em média 20 pedidos por hora, tendo o tempo de atendimento distribuição exponencial. Calcular o tempo médio perdido na fila, o tempo médio gasto na fila por um operário e a porcentagem de tempo em que o encarregado não tem o que fazer.

SOLUÇÃO:

Temos: λ=12/hora; µ=20/hora; ρ= λ/ µ=0,6.

A probabilidade de estar desocupado é P₀=1- ρ=0,4.

Tamanho médio da fila, quando existe fila é:

E[M│M>0]= 1/(1- ρ)=2,5 homens.

Com isso, infere-se que em cada hora de trabalho na fabrica, há um desperdício de tempo de 2,5 homens-horas na fila.

O tempo médio de espera é:

E[W]=λ/µ(µ- λ)= 12/20(20-12)= 0,075h

O tempo médio de espera quando há fila é:

E[M│M>0]= 1/(µ- λ)=1/8=0,125h=7,5 minutos. Onde esse é também o tempo médio gasto no sistema em questão.

CONCLUSÃO

            O trabalho em questão apresentou um modelo de fila mais utilizado e simples, que faz parte dos modelos Markovianos, abrangendo seus comportamentos, a partir de estudos da entrada e saída de clientes em uma fila, intensidade de fluxo e outras variáveis, como o tamanho esperado da fila e o tempo médio de espera. Além disso, o uso de exemplos foi um fator preponderante para esclarecer o funcionamento real desse modelo de fila, destacando suas características. Também se pode verificar que a analise de filas tem grande relevância para os administradores de empresas, engenheiros, gestores, colaboradores entre outros funcionários que estão interessados em atender aos seus clientes com qualidade e eficácia, uma vez que as filas estão presentes em diversas situações do cotidiano das empresas e da sociedade.

            Vale lembrar também que o modelo aqui abordado retrata apenas um tipo de modelo de fila existente mais utilizado; no entanto, há também modelos que envolvem entradas e saídas com distribuições diferentes do processo de Poisson, porém essa fila foi o foco deste trabalho por se tratar de uma parte inicial e fundamental para o aprendizado dos demais modelos de filas, tais modelos, pela sua complexidade, não foram considerados neste trabalho. Porém não se podem descartar os mesmos, pois eles também fazem parte da realidade humana.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

TORRES, Oswaldo Fadigas. Elementos da teoria das filas. [s.l]: [s.n] 20??. Disponível em: < www.spell.org.br/documentos/download/2413>. Acesso em: 19 abril. 2014.

CUYABANO, Beatriz Castro dias; jung, Karen Maria. Teoria de Filas [s.l]: [s.n] 20??.Disponível em:< http://www.ime.unicamp.br/~nancy/Cursos/me501/filas_final.pdf>. Acesso em: 20 abril. 2014.

OLIVEIRA, José Fernando. Filas de Espera. [s.l]: [s.n], 1998.Disponível em: < http://paginas.fe.up.pt/~mac/ensino/docs/IO20032004/FilasEspera.pdf>.Acesso em: 21 abril. 2014.